Tổng hợp công thức Toán hình học lớp 8 học kỳ 2

1. Đoạn thẳng tỉ lệ: Cặp đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với cặp đoạn thẳng A’B’ và C’D’ $ \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{A’B’}}{{C’D’}} $

2. Một số tính chất của tỉ lệ thức:

$ \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{A’B’}}{{C’D’}} \Rightarrow AB.C’D’ = A’B’.CD $

$ AB.C’D’ = A’B’.CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{A’B’}}{{C’D’}};\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{CD}}{{C’D’}}\\
\frac{{C’D’}}{{CD}} = \frac{{A’B’}}{{AB}};\frac{{C’D’}}{{A’B’}} = \frac{{CD}}{{AB}}
\end{array} \right\} $

$ \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{A’B’}}{{C’D’}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AB \pm CD}}{{CD}} = \frac{{A’B’ \pm C’D’}}{{C’D’}}\\
\frac{{AB}}{{AB \pm C’D’}} = \frac{{A’B’}}{{A’B’ \pm C’D’}}
\end{array} \right.\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{A’B’}}{{C’D’}} = \frac{{AB \pm A’B’}}{{CD \pm C’D’}} $

3. Định lí TaLet trong tam giác: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

$ \Delta ABC:\left\{ \begin{array}{l}
BC//B’C’\\
B’ \in AB\\
C’ \in AC
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{AB’}}{{AB}} = \frac{{AC’}}{{AC}};\frac{{AB’}}{{BB’}} = \frac{{AC’}}{{CC’}};\frac{{BB’}}{{AB}} = \frac{{CC’}}{{AC}} $

4. Định lí đảo của định lí TaLet: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.

$ \Delta ABC:\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AB’}}{{BB’}} = \frac{{AC’}}{{CC’}}\\
B’ \in AB \Rightarrow BC//B’C’\\
C’ \in AC
\end{array} \right. $

5. Hệ quả của định lí TaLet: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

$ \Delta ABC:\left\{ \begin{array}{l}
BC//B’C’\\
B’ \in AB \Rightarrow \frac{{AB’}}{{AB}} = \frac{{AC’}}{{AC}}\frac{{B’C’}}{{BC}}\\
C’ \in AC
\end{array} \right. $

6. Tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn ấy.

$ \Delta ABC:\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} $ (AD là phân giác trong tại góc A của tam giác ABC)

$ \Delta ABC:\widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}} \Rightarrow \frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} $ (AE là phân giác ngoài tại góc A của tam giác ABC)

7. Hai tam giác đồng dạng:

$ \Delta ABC \sim \Delta A’B’C’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat A = \widehat {A’};\widehat B = \widehat {B’};\widehat C = \widehat {C’}\\
\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = k
\end{array} \right. $ (k là tỷ số đồng dạng)

8. Tính chất hai tam giác đồng dạng

Ta có các tính chất đơn giản của hai tam giác đồng dạng:

Tính chất 1: Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó theo tỷ số k=1.

Tính chất 2: Nếu ΔA’B’C’ ᔕ ΔABC theo tỉ số k thì ΔABC ᔕ ΔA’B’C’ theo tỉ số $ \frac{1}{k} $ . Ta nói ΔA’B’C’ và ΔABC đồng dạng với nhau

Tính chất 3: Nếu ΔA’B’C’ ᔕ ΔA”B”C” và ΔA”B”C” ᔕ ΔABC thì ΔA’B’C’ ᔕ ΔABC.

Gọi h, h’, p, p’, S, S’ lần lượt là chiều cao, chu vi và diện tích của 2 tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau.

$\frac{{h’}}{h} = k $;        $\frac{{p’}}{p} = k $;      $ \frac{{S’}}{S} = {k^2} $

9. Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường

a) Xét ΔABC và ΔA’B’C’ có:

$\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = \frac{{C’A’}}{{CA}} $ ⇒ ΔA’B’C’ ᔕ ΔABC (c.c.c)

b) Xét ΔABC và ΔA’B’C’ có:

$ \left. \begin{array}{l}
\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{B’C’}}{{BC}}(…)\\
\widehat {B’} = \widehat B(…)
\end{array} \right\} $ ⇒ ΔA’B’C’ ᔕ ΔABC (c.g.c)

c) Xét ΔABC và ΔA’B’C’ có:

$ \left. \begin{array}{l}
\widehat A = \widehat {A’}\,(…)\\
\widehat {B’} = \widehat B\,(…)
\end{array} \right\} $ ⇒ ΔA’B’C’ ᔕ ΔABC (g.g)

10. Các cách chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng:

Trường hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì chúng đồng dạng.

Tam giác vuông ABC và Tam giác vuông A’B’C’: $\widehat C = \widehat {C’}$ ⇒ Tam giác vuông ABC ᔕ Tam giác vuông A’B’C’

Trường hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì chúng đồng dạng.

Tam giác vuông ABC và Tam giác vuông A’B’C’: $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}}$ ⇒ Tam giác vuông ABC ᔕ Tam giác vuông A’B’C’

Trường hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác đồng dạng nhau.

Tam giác vuông ABC và Tam giác vuông A’B’C’: $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}}$ ⇒ Tam giác vuông ABC ᔕ Tam giác vuông A’B’C’